Se pare ca saptamana trecuta am dat o problema destul de dificila. Totusi problema a fost partial rezolvata. Pentru incercarile repetate de a gasi solutia, Laura primeste 0,5p si inca 1 punct bonus pentru ca a raspuns la intrebarea referitoare la drumul egal cu lungimea diagonalei plus unu (prin exemplul dat). Celelalte puncte merg la Iulia. Ea primeste 1 punct pentru intrebarea bonus cu programul care-si autotipareste codul, 1 punct pentru intrebarea bonus cu patratele din care se parcurge tot terenul (prin discutia in functie de M,N daca sunt sau nu prime intre ele), 0,75 puncte pentru functia C (pentru ca as fi preferat una matematica) si 0,25 puncte pentru ca a dat acest raspuns surprinzator cu functia C. Total: 3puncte si avem un nou castigator 
. Clasamentul actual este:
. Clasamentul actual este:
- Laura (Lieserl): 10p
- Ciprian: 9p
- Dadatroll (dadatroll): 5p
- Iulia: 4p
- Liviu (logica betivului): 2p (2,25)
- Alex B: 2p (1,5)
- Andrada: 2p (1,5)
- CDG: 2p (1,5)
- Lothlorien: 1p
- Alex (Seviyor): 1p
- Adrian: 1p
Pentru saptamana aceasta exista probleme, nu stiu daca voi gasi si pentru cea care vine. Problema de astazi a fost propusa de Iulia la inceputul concursului dar nu am publicat-o pana nu i-am gasit solutia. Enuntul ei este urmatorul – putin modificat ca sa nu mearga un simplu google:
“Basescu se lauda ca are in jurul lui 12 oameni extrem de intelepti. Vine Sarkozi si-i spune: Pentru ca m-ai lasat sa iau stiloul ala vreau sa te ajut sa-i testezi pe cei 12 intelepti ai tai. Ti-l trimit maine pe cel mai intelept om al meu.
A doua zi, la Otopeni la aeroport, coboara un omulet cu o multime de bagaje, se prezinta la Basescu si-i spune sa-i cheme pe cei 12. Dupa ce se aduna toti in sala inteleptul francez le spune:
V-am adus in fata voastra 12 cutii, exact atatea cati sunteti. In cutia din fata mea se afla rubine si smaralde, 12 la numar in total. Pe rand, cate unul din voi va iesi afara si ii voi pune in cutie o piatra pretioasa, sigiland apoi cutia. Astfel, numai ceilalti vor vedea ce i-am pus in cutie. Instructiuni ulterioare voi da dupa ce fac chestia asta.
Se umplu toate cele 12 cutii dupa care francezul asta spune: Cei care aveti rubine in cutie faceti un pas in fata. Nici o miscare, Basescu se enerveaza si spune ca-i va da in judecata pe cei 12 oameni pentru fals si uz de fals. Nenea francezul ii spune sa nu se precipite si sa astepte pana cand ii va spune el ca s-a terminat testul. Apoi le spune celor 12 oameni sa se gandeasca in continuare. Dupa 10 minute pune din nou aceeasi intrebare si tot nu se vede nici o miscare. Basescu incepe sa se plimbe agitat prin camera. Se repeta faza asta timp de o ora. Exact dupa o ora, dupa intrebarea francezului se vede o miscare. Un numar de intelepti fac un pas in fata. Basescu se linisteste putin, dar tot ramane agitat. Francezul ia o cheie si incepe sa deschida cutiile corespunzatoare celor care au facut un pas in fata. Spre mirarea lui Base toate contin rubine. Inteleptul lui Sarkozi deschide si cutiile celor care nu au mers in fata. Toate contineau smaralde. Lui Basescu i se spune ca ar avea intelepti buni daca acesti oameni nu ar fi lucrat de fapt pentru altcineva ” Cerinta: Cate smaralde au fost si cum au judecat cei 12 oameni?
” Cerinta: Cate smaralde au fost si cum au judecat cei 12 oameni?Problema bonus, de data asta legata de metrouri: Un oarecare student la poli, locatar al caminului P9 are doua cunostinte pe care le viziteaza saptamanal. Una sta in Crangasi si cealalta la Eroilor. De lene, studentul nostru ia saptamanal metroul de la Semanatoarea. Cum cele doua destinatii sunt in directii opuse, si cum el nu are preferinte privind cunostina pe care o viziteaza saptamana respectiva, studentul urca in primul metrou care ajunge in statie dupa ce a ajuns el acolo (daca era unul nu urca in el). Dupa un an de facultate, analizand cele 42 de vizite observa ca 37 au fost facute la cunostina din Eroilor si 5 la cea din Crangasi. Cum studentului nostru nu prea i-a placut Mate3, el va roaga pe voi sa-i explicati fenomenul. Se stie ca metrourile vin din 10 in 10 minute in statie si ca el pleaca aproximativ in jurul orei 15 de la el din camera, desi nu se uita la ceas ca sa plece la fix.
PS: nici una dintre situatiile prezentate aici nu este adevarata. Ambele sunt parodii si orice asemanare cu cazurile reale este pur intamplatoare.
PS2: Pentru moderare includeti cuvintele solutie, metrou, rubin, smarald, intelept sau orice cifra (inclusiv in combinatii precum unmetrou23rubin )
)
Daca francezul pune intrebarea de x ori atunci sunt x rubine (dem. prin ind.) in particular sunt 6 rubine – 6 smaralde.
Catre eu: se cere demonstratia completa precum si un nume mai normal, distinctiv
Deci pentru prieteni nostri de la sate, poate ar fi bine sa precizezi care e distanta dintre Crangasi Eroilor si Semanatoarea. Sau ca nu conteaza, cum o fi cazul. Oricum, mi-a placut mai mult problema asta cand era cu ceferistul sovietic pensionat.
Prima problema e gresit formulata: are sens doar daca presupunem ca exista cel putin un rubin, si ca toata lumea stie ca exista cel putin un rubin. Altfel nu se poate rezolva.
Dar daca toata lumea stie ca exista cel putin un rubin, numarul de rubine e 7 si numarul de smaralde e 5. Esplicatie: daca ar fi fost numai un rubin, tipul cu rubinu ar fi iesit in fata la prima strigare, la ora 0, pentru ca si-ar fi dat seama ca cum nu a vazut nici un rubin in nici o alta cutie, trebuie sa fie in cutia lui (dar daca nu stie ca este cel putin un rubin, sta si asteapta pana in ziua de azi, de aia e musai sa se stie ca este cel putin un rubin.) Deci, un rubin, iese din prima in fata. Daca ar fi fost doi, unul din cei care are rubin si nu stie sar fi mirat de ce nu iese ala pe care il stie el cu rubinu in fata: singura esplicatie e ca mai este unu cu rubin, deci el, si ar fi iesit in fata (la fel si alalaltu.) Deci, un rubin, iese in fata la timpul 0, doua rubine, la timpul 1. Si tot asa. Daca ies toti in fata la timpul 6, deci la a 7-a strigare, sunt 7 rubine si 5 smaralde.
Si oricum mia placut mai mult problema asta cand era cu tarfele din Bagdad. Dar poate ca acuma nu mai e pc sa vorbesti despre Bagdad?
Era mai funny:
Definitie: se defineste tarfa din Bagdad ca femeia care sa culcat cu toti barbatii din Bagdad.
Lema: Ce stie tot satul, nu stie barbatul.
Si tot asa, mare distractie.
@dadatroll: solutia e buna, pentru cat ai raspuns (poate nu ar fi trebuit sa spun asta)
@dadatroll&anyone: nu conteaza acea distanta deloc.
Fiecare om din cei 12 o sa stie ce se afla in cutiile celorlalti 11. Fie N,numarul de rubine.
Un oarecare om dintre cei 12 o sa spuna ca sunt M+1 rubine daca in cutia sa se afla un rubin, sau M rubine, daca in cutia lui nu este un rubin.
Oamenii care au smararde in cutie vor stii exact numarul de rubine. Deci sunt 12-N oameni care cunosc numarul de rubine si N oameni care au vazut plasate N-1 rubine.
Well, sa presupunem ca eu sunt unul din “inteleptii” lui Base
.
Vad in jurul meu n tipi cu rubine, si 11-n tipi cu smaralde. E clar ca numarul tipilor cu rubine e sau n, sau n+1. Pentru moment, facem abstractie ca stiu chestia asta, si gandesc: “daca ar fi un singur tip care are rubin, s-ar prinde ca el e singurul, si ar iesi la prima strigare. Daca ar fi doi, fiecare ar vedea pe celalalt cu rubin, si ar zice: ‘daca asta e singurul cu rubin, iese la prima. daca nu, inseamna k mai vede pe unul cu rubin, si deci nu e sigur. Deoarece toti ceilalti au smaralde, rezulta ca numai eu pot avea rubin.’ Si tipul iese din a doua strigare.” Se repeta rationamentul, pas cu pas, pana ajung la n. Si zic: “daca eu nu am rubin, atunci ceilalti n se vor prinde dupa n-1 strigari, si vor iesi. Daca nu, inseamna k fiecare dintre ei vad n persoane cu rubin, deci si eu am.” Si ies la strigarea n+1. Intr-o ora se fac 7 strigari, deci sunt 7 rubine.
Acuma, cea mai faina parte la problema asta, e urmatoarea: Sa zicem k in grupul ala de 12 intelepti, 7 sunt impostori. Si francezul le da rubine fix alora. Normal, k la a 7-a strigare, ei stau in continuare nehotarati. Ce se intampla la a 8-a?
Si acuma, sa trecem la metrou. Problema e ceva de genul: “sunt doar cateva zile de la craciun pana la anul nou, si aproape un an de la anul nou pana la craciun”.
… B … 
… A … 
… B
.
, iar pentru un interval de primul tip, 
.
, adica aproximativ 1min si 12 sec, si 
, adica aproximativ 8 min si 48 de sec.
Sa presupunem evenimentele urmatoare:
A – vine metroul in prima directie
B – vine metroul in a doua directie
intre doua evenimente A si intre doua evenimente B, trec 10 min.
Sa consideram situatia:
A … timpul
evident,
Daca tipul ajunge in statia de metrou intr-un interval [A;B), va merge in directia a doua, iar daca e de forma [B;A), in prima.
Cum persoana a facut 37 de vizite in directia A, si doar 5 in directia B, inseamna ca probabilitatea sa nimereasca intr-un interval de al doilea tip, este de
De unde rezulta ca
unmetrou23rubin
Profit de faptul că ştiam problema cu metroul… :-”
Deci la prima, soluţia este 5 rubine, iar strategia se bazează pe numărul xi de rubine pe care “le-a văzut” înţeleptul numărul i şi este următoarea:
(deci dacă există i a.î. xi=0, acel înţelept face un pas în faţă).
- la prima strigare nu iese nimeni în faţă. Dacă era careva să aibă rubin, “jocul” continuă; altfel înţeleptul francez îi felicită.
- în condiţiile în care se ajunge la a doua strigare, e garantat că există un rubin. Dacă vreo unul din cei 12 ştie că toţi ceilalţi au smarald, e clar că rubinul e la el
Fie m valoarea minimă xi. Este evident că m+1 înţelepţi (să notăm cu A) “au văzut” m rubine (cei care au rubine, şi nu l-au văzut pe cel propriu) iar restul de 11-m au văzut m+1 rubine (notăm cu B).
Cei din mulţimea B au smaralde şi nu vor face nimic. De fapt, nimeni nu va face nimic pînă la pasul xi+2. Cum jocul se va opri la pasul m+2 cînd toţi cei din mulţimea A vor face un pas în faţă, pentru cei din mulţimea B nu se va ajunge la pasul (m+1)+2 deci nu vor face nimic. Din faptul că s-a oprit după o oră, adică după 6 paşi înseamnă că m=4, deci numărul de smaralde e m+1=5.
În concluzie, fiecare înţelept va calcula ti=xi+2, şi dacă se ajunge la pasul ti, vor face un pas în faţă, fiind evident că în joc sunt ti-1=xi+1 rubine, iar cel de-al xi+1 rubin e la el.
Pentru problema cu metroul:
Putem presupune fără a restrînge generalitatea că ajunge la Semănătoarea între 15:00 şi 15:10, cu o “distribuţie” constantă (adică probabilitatea e aceaşi pentru fiecare momet din interval) iar metroul spre Eroilor trece la 15:00 (deci şi la 15:10).
În aceste condiţii, faptul că metroul spre Crîngaşi vine la 15:01:12 rezolvă misterul. Pentru că probabilitatea ca Gigel să ajungă la Semănătoarea în intervalul 15:00:01 – 15:01:12 şi deci de a prinde metroul spre Crîngaşi este de 5/42.
Sper să ies din “zona nisipurilor mişcătoare” cum se zice la fotbal, cu răspunsul ăsta
) [deşi pe jumate e blat, că ştiam faza cu metroul :">]
Pornind de la ideea ca exista cel putin o cutie cu smarald, rationam asa:
- daca exista 1 singur smarald, atunci cel care il avea stia ca ceilalti au numai rubine, deducand ca el are smaraldul
- pt 2 smaralde, fiecare din ei stia ca celalalt are un smarald; vazand ca acesta nu reactioneaza prima data, deduceau ca mai exista unul la ei in cutie asa ca a 2-a oara cand erau intrebati, ar fi pasit amandoi in fata
- si tot asa, pana cand dupa 60 de minute (adica fusesera interbati de 7 ori) pasesc 7 in fata